อินเตอร์เซกชัน

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

ยูเนียน

ยูเนียน (Union)

 

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

บทนิยาม เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้ โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์

 

 

เซตอนันต์

เซตอนันต์ (Infinite Set)

เซตอนันต์(Infinite Set) คือ เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้เพราะสมาชิกมีจำนวนมาก ตัวอย่าง A = {1, 2, 3, … } จะเห็นได้ว่าเซต Aไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกตัวสุดท้ายที่อยู่ในเซตนี้ได้หมด ดังนั้นเซต A จึง เป็นเซตอนันต์ ตัวอย่าง B = {3 , 5 , 7 , … } จะเห็นได้ว่าเซตB ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกที่เป็นจำนวนคี่ได้หมด ดังนั้นเซต B จึงเป็นเซตอนันต์ ตัวอย่าง D = {x | x เป็นจำนวนคี่บวก} จะเห็นได้ว่าจำนวนที่เป็นคี่บวกมี 1, 3, 5, … ไม่สามารถบอกจำนวนคี่ตัวสุดท้ายได้เพราะสมาชิกมีจำนวนมาก เซตD จึงเป็นเซตอนันต์ ตัวอย่าง E = {x | x เป็นจำนวนเฉพาะ} จะเห็นได้ว่าจำนวนเฉพาะนั้นมีมากจนไม่สามารถนับได้หมด ดังนั้นเซต E จึงเป็นเซตอนันต์

เซตจำกัด

เซตจำกัด (Finite Set)

เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ทั้งหมดและมีจำนวนที่แน่นอน ตัวอย่าง A = {1, 2,3, … ,20} จะเห็นได้ว่าเซต A สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ว่าเซตนี้มีจำนวนสมาชิกทั้งหมด 20 ตัว ดังนั้น เซต Aจึงเป็นเซตจำกัด ตัวอย่าง B = { 3 } จะเห็นได้ว่าเซตB สามารถที่จะบอกจำนวนสมาชิกได้ คือ 1 ตัว ดังนั้นเซต B จึงเป็นเซตจำกัด ตัวอย่าง C = {x N | + 1 = 10} จะเห็นได้ว่ามีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่+ 1 = 10 คือ + 1 = 10 ดังนั้นเซต C จึงเป็นเซตจำกัด ตัวอย่าง D = {x | x เป็นจำนวนนักศึกษา คบ.5/3 หมู่ 1 เอกคณิตศาสตร์} จะเห็นได้ว่านักศึกษา คบ.5/3 หมู่ 1 เอกคณิตศาสตร์ มีจำนวนนักศึกษาทั้งหมด 44 คน สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ทั้งหมด ดังนั้นเซต D จึงเป็นเซตจำกัด **ข้อตกลง เซตว่าง (Empty Set) ถือว่าเป็นเซตจำกัด เขียนสัญลักษณ์แทนเซตว่างได้ดังนี้ หรือ { } ตัวอย่าง E = {x N | เป็นเดือนที่มี 32วัน} จะเห็นได้ว่าไม่มีเดือนใดเลยที่มี32 วัน ดังนั้นเซตE จึงเป็นเซตว่าง เขียนแทนด้วย E = { } ตัวอย่าง F = {x | x +1 = 0} จะเห็นได้ว่าไม่มีจำนวนเต็มบวกใดเลยที่ x + 1 = 0 ดังนั้นเซต F จึงเป็นเซตว่าง เขียนแทนด้วย F = { }

สัญลักษณ์ของเซต

สัญลักษณ์

ความหมายของเซต

                                                        ความหมายของเซต

ตามที่เคยได้ศึกษามาแล้ว เรายอมรับว่า เมื่อกล่าวถึงเซตจะหมายความถึงกลุ่มของสิ่งของหรือวัตถุ(Object) ที่มีคุณสมบัติ(Property) บางอย่างคล้ายคลึงกัน เรียกสิ่งของในกลุ่มนั้นว่าสมาชิก(Element หรือ Member) เมื่อกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งของกลุ่มหนึ่ง ต้องทราบแน่นอนว่า มีสิ่งของหรือวัตถุสิ่งใดอยู่ในกลุ่มนั้นบ้าง และต้องทราบแน่นอนอีกว่า สิ่งของสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มนั้นบ้าง ดังนั้นเมื่อกล่าวถึงเซต ๆ หนึ่ง ก็ต้องทราบว่าสิ่งใดเป็นสมาชิกของเซตนั้น และสิ่งใดไม่เป็นสมาชิกของเซตนั้น แคนเตอร์ นักคณิตศาสตร์ที่ได้กล่าวถึงแล้วในบทที่ 1 ผู้เป็นต้นกำเนิดของวิชาทฤษฎีเซตได้เคยให้คำอธิบายความหมายของเซตไว้อย่างง่าย ๆ เพื่อความเข้าใจเบื้องต้นเป็นแนวทางเดียวกันว่า“เซตหมายถึงกลุ่มของสิ่งของ ซึ่งมีคุณสมบัติบางประการคล้ายคลึงกัน และเรียกสิ่งของในกลุ่มนั้นว่า สมาชิกของเซต” จากที่กล่าวมานี้ นักคณิตศาสตร์เช่นแคนเตอร์ไม่ได้ถือว่า คำอธิบายเกี่ยวกับเซตที่กล่าวมาแล้วนี้เป็นการให้คำจำกัดความ หรือเป็นพจน์นิยามของคำว่า เซต เพราะว่าไม่ได้อธิบายไว้โดยแจ่มชัด คำที่ใช้ประกอบคำอธิบายก็มีคำว่า กลุ่ม สิ่งของ และสมาชิก ซึ่งนี้เป็นคำที่เรารู้ความหมายดีแล้ว ถ้าพยายามอธิบายคำเหล่านี้อีก เราก็ต้องหาคำอื่น ๆ มาใช้ในการอธิบายจึงเกิดเป็นปัญหาการใช้คำอธิบายที่ต้องวกกลับมาใช้คำแรกอีก จึงตกลงกันว่า จะใช้คำว่า เซตเป็นพจน์อนิยาม นั่นคือไม่ต้องให้คำจำกัดความของคำนี้ ในภาษาไทยมีหลายคำที่มีความหมายอย่างเดียวกับคำว่า เซต ได้แก่ กลุ่ม ฝูง หมู่ โขลง ชุด คณะ กอง กรม สำหรับ ครอบครัว ตระกูล ห้อง พะวง เหล่านี้เป็นต้น ในภาษาอังกฤษมีคำหลาย ๆ คำ ที่ใช้ในความหมายอย่างเดียวกับคำว่า set ได้แก่ group , collection , family , totality , aggregate เป็นต้น แต่ก็มีบางโอกาสที่นักคณิตศาสตร์ได้นำคำเหล่านี้บางคำ ไปใช้ในความหมายที่แตกต่างกันบ้าง เพื่อความสะดวกบางประการของเนื้อหา ที่ใช้นั้น เราทราบถึงความแตกต่างนี้ได้โดยจะบอกกล่าวให้ทราบไว้ก่อน ในขณะนี้